素數分布之道(原創(chuàng)彭秋年)
內容簡介：㈠創(chuàng)建能量參照法生成素數分布新論；㈡論各種奇素數組合的分布；㈢論偶數u的素數分解對的分布；㈣論冪函數中的素數分布；㈤論梅森素數的分布.
關鍵詞：能量參照法、素數分布新論.
㈠、創(chuàng)建能量參照法生成素數分布新論.
首先陳述素數定理：如果以q表示自然數s以內的素數數量，則q=s/㏑s.
(s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算更精確)
當s足夠大時，顯然滿足：
(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
如果集合X是集合N(N=全體自然數)的子集.
且令：s以內集合X中大于2的元素依次是x?，x?…x?；定義s以內集合X中元素的能量和為e=1/㏑x?+1/㏑x?…+1/㏑x?.
則有：s以內集合N中元素的能量和e、素數數量q均接近于s/㏑s，即q=e=s/㏑s.
以集合X={x|x=3a+1,(a∈N)}為例展開論述.
且令：集合X、N中與p?互素的元素的分布比例分別為y?、z?.
(i∈N,p?=2,i>0時,p?表示第i個奇素數)
則有：i=1時，y?=1，z?=2/3；
i≠1時，y?=z?=(p?-1)/p?；
集合X、N中與p?p?…p?互素的元素的分布比例分別為y?y?…y?、z?z?…z?.
且令：r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
則有：r?=1；i>0時，r?=1/(2/3)=3/2.
分析：s以內集合X中的元素相對于集合N中的元素，它們成為素數的能力強度其參照值是r=3/2；簡述為集合X存在參照常數r=3/2.
且令：s以內集合X中元素的能量和為e.
則有：e=s/(3㏑s).
分析：s以內集合X中的素數數量q等于能量和e與參照常數r之積，即q=er=s/(2㏑s).
以此類推
且令：P={全體素數}；
X={x|x=pa+y,(a∈N)}.
(p∈P；y=1,2…p-1)
則有：p、y確定時，s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].
且令：P?=P∩X.
則有：s以內集合P?、P中元素數量分布之比為1/(p-1).
定義：使用能量和e與參照值r的概念對素數分布進行分析探討的方法稱為能量參照法.
素數定理與能量參照法結合為素數分布新論.
如果集合X是集合N(N=全體自然數)的子集；集合X中與p?、p?p?…p?互素的元素的分布比例分別為y?、y?y?…y?. (i∈N)
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
如果存在n使得：i＞n，所有的r?都接近于r；則稱集合X存在參照常數r.
且令：s以內集合X中元素的能量和為e，素數元素的數量為q. (s足夠大)
則有：q=er.
㈡、論各種奇素數組合的分布.
①、將奇素數組合分為兩種類型.
類型一、非動態(tài)素數鏈.
如果序列U={u?，u?+u?，… u?+u?…+u?}中的元素除以某個奇素數p，所得互異的正整數余數為1,2…p-1.
(u?為正偶數,i=1,2…n)
且令：序列A={a，a+u?，a+u?+u?，… a+u?+u?…+u?}. (a為奇素數)
則有：序列A中至少有一個數能夠被p整除.
當序列A中的元素均為素數時，則稱其為加u?加u?…加u?型素數鏈(或非動態(tài)素數鏈).
序列A中的元素包含p時才有可能均為素數，使得序列A能夠包含p的a值數量有限.
因此，任一型號的非動態(tài)素數鏈數量有限.
類型二、動態(tài)素數鏈.
如果序列U={u?，u?+u?，… u?+u?…+u?}中的元素除以任意的素數p，所得互異的正整數余數的數量少于p-1個.
(u?為正偶數,i=1,2…n)
且令：序列A={a，a+u?，a+u?+u?，… a+u?+u?…+u?}. (a為奇素數)
當序列A中的元素均為素數時，則稱其為加u?加u?…加u?型素數鏈(或動態(tài)素數鏈).
且令：a，a+a?，a+a?，…a+a???均為素數.(2≤n＜a，2≤a?＜a?…＜a???)
則有：a?，a?，…a???除以任意的素數p，所得互異的正整數余數的數量少于p-1個.
故a，a+a?，a+a?，…a+a???是動態(tài)素數鏈.
由此可知：任意n(n≥2)個互異且大于n的奇素數均可組成一條長度為n的動態(tài)素數鏈，幾乎所有的奇素數組合都屬于動態(tài)素數鏈.
②、以序列A={5,7,11,13}為例展開論述.
序列A={5,7,11,13}中相鄰素數的間距依次是u?=2，u?=4，u?=2.
且令：P={全體素數}；
Q?={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)
且令：R?=P∩Q?；S?=R?∩R?；
S?=R?∩R?；S?=R?∩R?；
S?=R?∩R?；T=R?∩R?∩R?.
則有：R?={3,5,11…}；R?={3,7,13…}；
R?={5,7,11…}；R?={3,5,11…}；
S?={5,11,17…}；S?={7,13,37…}；
S?={3,5,11…}；S?={5,11,23…}；
T={5,11,101…}.
[集合R?(i=1,2,3,4)分別由全體加2i型素數鏈的第一個元素組成；集合S?、S?、S?、S?分別由全體加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素數鏈的第一個元素組成；集合T由全體加2加4加2型素數鏈的第一個元素組成]
已知：s以內素數的分布密度是1/㏑s.
因此，s以內集合Q?(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同樣是1/㏑s.
又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
因此，s以內集合Q?(i=1,2,3,4)中元素的能量和為e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑2s.
已知集合Q?={x|x=a-2,(a∈P)}={0,1,3…}.
且令：集合Q?中與p?互素的元素的分布比例為y?. (i∈N)
則有：y?=1；i>0時，y?=(p?-2)/(p?-1).
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
則，
r?={(1/2)(3/4)(5/6)…[(p?-2)/(p?-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(p?-1)/p?]}可化為式B與式B'如下：
式B、
r?=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(p?-2)/(p?-1)][p?????/(p?????-1)]}[p?/(p?-1)].
式B'、
r?=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p?-2)/(p?-1)][p?/(p?-1)]}.
式B中 p?/(p?-1)＞1；
[(p?-2)/(p?-1)][p???/(p???-1)]＞1.
(m=2,3…i)
因此，
r?＞[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(p?-2)/(p?-1)][p?????/(p?????-1)]}.
式B'中 [(p?-2)/(p?-1)][p?/(p?-1)]＜1. (m=2,3…i)
因此，r?＜(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p?????-2)/(p?????-1)][p?????/(p?????-1)]}.
經計算，r?=2,1.5,1.406,1.367,1.354…
當i=253時，1.3196＜r?＜1.3204；隨著i的不斷增大，r?→1.3203236…
因此，r?→1.320(精確到千分位).
即，集合Q?存在參照常數r=1.32.
因此，s以內集合Q?中素數數量分布的計算公式是q=er=1.32s/㏑2s.
同理可證：集合Q?，Q?，Q?的參照常數依次是1.32，2.64，1.32.
因此，s以內加u(u=2,4,6,8)型素數鏈[集合R?(i=1,2,3,4)中元素]數量分布的計算公式依次是1.32s/㏑2s，1.32s/㏑2s，2.64s/㏑2s，1.32s/㏑2s.
且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P?=X∩R?.
[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2)]
則有：p、y確定時，s以內集合P?、R?中的元素數量分布之比為1/(p-2).
(p=2時,用1代替p-2)
且令：
R?'={x|x=a+6,(a∈R?)}={9,11,17…}.
已知：s以內集合R?中元素的分布密度是1.32/㏑2s. 因此，s以內集合R?'中元素的分布密度同樣是1.32/㏑2s.
又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
因此，s以內集合R?'中元素的能量和為e=(s/㏑s)(1.32/㏑2s)=1.32s/㏑3s.
且令：集合R?'中與p?互素的元素的分布比例為y?. (i∈N)
則有：y?=1,y?=1；
i＞1時,y?=(p?-3)/(p?-2).
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
經計算，r?→2.165(精確到千分位).
即，集合R?'存在參照常數r=2.165.
因此，s以內集合R?'中素數數量分布的計算公式是q=er=2.86s/㏑3s；即，s以內加2加4型素數鏈(集合S?中元素)數量分布的計算公式是2.86s/㏑3s.
同理可證：s以內加4加2、加2加6、加6加2型素數鏈(集合S?、S?、S?中元素)數量分布的計算公式都是2.86s/㏑3s.
且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P?=X∩S?.
[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6)]
則有：p、y確定時，s以內集合P?、S?中的元素數量分布之比為1/(p-3).
(p=2,3時,用1代替p-3)
關于r?的計算謹作論述C(標識C備用)：
在計算r?→1.32(n=1)及r?→2.165(n=2)的過程中發(fā)現(xiàn)，n為任意正整數時，r?={…[(p?-n-1)/(p?-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(p?-1)/p?]}都能夠類似地化為兩個式子，且使得：一個式子里面從某一項開始，后面連續(xù)相乘的各項均趨近1且不小于1；另一個式子里面從某一項開始，后面連續(xù)相乘的各項均趨近1且不大于1.
因此，n為任意正整數，r?都將趨近于常數.
且令：
S?'={x|x=a+8,(a∈S?)}={13,19,25…}.
經計算，集合S?'存在參照常數r=1.451.
已知：s以內集合S?中元素的分布密度是2.86/㏑3s. 因此，s以內集合S?'中元素的分布密度同樣是2.86/㏑3s.
又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
因此，s以內集合S?'中元素的能量和為
e=(s/㏑s)(2.86/㏑3s)=2.86s/㏑?s.
因此，s以內集合S?'中素數數量分布的計算公式是q=er=4.15s/㏑?s；即，s以內加2加4加2型素數鏈(集合T中元素)數量分布的計算公式是4.15s/㏑?s.
且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P?=X∩T.
[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6,8)]
則有：p、y確定時，s以內集合P?、T中的元素數量分布之比為1/(p-4).
(p=2,3時,用1代替p-4)
關于公式系數(例4.15)的計算謹作論述C'：
且令：序列U={u?，u?+u?，u?+u?+u?}中的元素(即2,6,8)除以素數p?，所得互異的正整數余數為t?個. (i=0,1…m)
且令：a=(p?-t?-1)(p?-t?-1)…(p?-t?-1)； b=p?p?…p?；d=(p?-1)(p?-1)…(p?-1).
則有：m足夠大時，
ab3/d?=1.32*2.165*1.451=4.15.
③、以②類推論各種動態(tài)素數鏈的分布.
如果序列U={u?，u?+u?，… u?+u?…+u?}中的元素除以任意的素數p，所得互異的正整數余數的數量少于p-1個.
(u?為正偶數,i=1,2…n)
則有：s以內加u?加u?…加u?型動態(tài)素數鏈數量分布的計算公式是q=er=c?s/㏑??1s.
(s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)
綜合論述C、C'，系數c?的計算方法如下：
且令：序列U中的元素除以素數p?，所得互異的正整數余數為t?個. (i=0,1…m)
且令：a=(p?-t?-1)(p?-t?-1)…(p?-t?-1)；
b=p?p?…p?；d=(p?-1)(p?-1)…(p?-1).
則有：m足夠大時，
c?=ab?/d??1=n個常數之積=常數.
當㏑s＞n+1時，c?s/㏑??1s是一個增函數，其值域為無窮大；因此，加u?加u?…加u?型動態(tài)素數鏈存在無窮多條.
繼續(xù)探討
經分析整理，n為正整數，可得以下結論：
1、s以內加2加4…加2n型動態(tài)素數鏈數量分布的計算公式是c?s/㏑??1s.
2、s以內連續(xù)n個加u型動態(tài)素數鏈數量分布的計算公式是c?s/㏑??1s. (令與偶數u互素的最小素數為p,n≤p-2)
3、s以內加u?加u?…加u?型動態(tài)素數鏈數量分布的計算公式是c?s/㏑??1s.
[u?=m?(m-1),(m-1∈N+,a=1,2…n)]
4、假設區(qū)間[n,2n)(n＞2)內存在t個素數，則該t個素數是一條長度為t的動態(tài)素數鏈；假設任意連續(xù)的n個自然數中，最長的動態(tài)素數鏈包含y個素數；n確定時，理論上能夠通過有限個步驟的計算得到確定的t、y(且t≤y).
5、如果素數鏈的第一個元素在s以內，則定義該素數鏈在s以內；當n確定、s足夠大時，(n+1)s以內每s個連續(xù)的自然數中接近存在s/㏑s個素數；因此，s以內加u?加u?…加u?(u?≤s,i=1,2…n)型動態(tài)素數鏈的數量總和接近于(s/㏑s)??1；因此，這些素數鏈數量分布的計算公式的系數總和接近于s?.
[依據系數c?的取值規(guī)律同樣可證(略)]
關于動態(tài)素數鏈伸展性與對稱性的簡論.
且令：序列U={u?，u?+u?，… u?+u?…+u?}中的元素除以素數p，所得互異的正整數余數為a個；序列V={mu?，m(u?+u?)，…m(u?+u?…+u?)}. (n、m∈N+)
則有：m被p整除時，序列V中的元素均被p整除；m與p互素時，序列V中的元素除以素數p，所得互異的正整數余數同樣為a個.
且令：序列W={u?，u?+u???，… u?+u???…+u?}；序列U中的元素除以素數p，所得余數依次組成序列X={x?，x?，…x?}；序列W中的元素除以素數p所得余數依次組成序列K={k?，k?，…k?}.
則有：x?=k?；(x?+k???)除以p得到余數x?. (i=1,2…n-1)
因此，序列X、K中互異的正整數數量相等.
綜合而論動態(tài)素數鏈的基本性質如下：
任一型號的動態(tài)素數鏈在自然數中的分布具有無窮性、諧和性、伸展性、對稱性.
無窮性是指任一型號的動態(tài)素數鏈其數量都是無窮的.
諧和性是指任一型號的動態(tài)素數鏈都對應一個公式，其數量的分布狀態(tài)接近于該公式的增長趨勢. 同時存在更深層次的諧和性，且令全體加u?加u?…加u?型動態(tài)素數鏈的第一個元素組成集合P'；且令X={x|x=pa+y,(a∈N)}；[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=u?,u?+u?,… u?+u?…+u?),p對應k個y值]；P?=P'∩X；則當p、y確定時，s范圍內集合P?、P'中元素數量分布之比為1/k.
伸展性是指將任一型號的動態(tài)素數鏈其相鄰素數的間距統(tǒng)一放大到m(m∈N+)倍，即可得到m倍間距型號的動態(tài)素數鏈，s以內兩者數量分布之比為常數.
對稱性是指對于任一型號的動態(tài)素數鏈，都將存在與其相鄰素數的間距對稱的動態(tài)素數鏈，s以內兩者數量分布之比為1.
㈢、論偶數u的素數分解對的分布.
且令：u(u>1000)為偶數；√u以內存在m個奇素數；X={x|x=u-a,(a∈P,a＜u)}.
且令：集合X中與p?互素的元素的分布比例為y?；z?=(p?-1)/p?；
r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?). (i=0,1…m)
則可推出r?→r；u=2?(n∈N)時，r=1.32；u存在奇素因數d?,d?…d?時，
r=1.32[(d?-1)(d?-1)…(d?-1)]/[(d?-2)(d?-2)…(d?-2)].
每個偶數u都對應一個參照常數r.(r≥1.32)
經分析，s(s≤u/2,s的下限＜＜u/2)以內集合X中元素的分布密度是1/㏑u.
又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
因此，s以內集合X中元素的能量和為
e=s/(㏑s㏑u).
因此，s以內使得a、u-a均為素數的a值數量分布的計算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).
{偶數u＞1000,s≤u/2,s的下限＜＜u/2；u=2?(n∈N)時,r=1.32；
u存在奇素因數d?,d?…d?時,r=1.32[(d?-1)(d?-1)…(d?-1)]/[(d?-2)(d?-2)…(d?-2)]}
當s=u/2時，可得偶數u的素數分解對數量的計算公式是rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑2u).
(u較小時,用㏑u-1.08代替㏑u計算)
依據該公式判斷哥德巴赫猜想成立.
㈣、論冪函數中的素數分布.
①、論一次函數(等差數列)中的素數分布.
以集合X={x|x=10a+1,(a∈N)}為例展開論述.
且令：集合X中與p?互素的元素的分布比例為y?；z?=(p?-1)/p?. (i∈N)
則有：10的素因數為2、5，對應y?=y?=1；i≠0、2時，y?=z?=(p?-1)/p?；
且令：r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
則有：i＞1時，r?=1/[(1/2)(4/5)]=5/2.
即，集合X存在參照常數r=5/2.
簡述：10以內有4個正整數(1,3,7,9)與10互素，對應集合X存在參照常數r=10/4=5/2.
s以內集合X中元素的能量和為e=s/(10㏑s).
因此，s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=s/(4㏑s).
以此類推
且令：X={x|x=ma+n,(a∈N)}；
m以內有u個正整數與m互素.
(m,n為互素的正整數,m＞n)
則有：集合X存在參照常數r=m/u；s以內集合X中元素的能量和為e=s/(m㏑s).
因此，s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=s/(u㏑s).
(s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)
②、論二次函數中的素數分布.
以集合X={x|x=a2+1,(a∈N)}為例展開論述.
且令：集合X中與p?互素的元素的分布比例為y?. (i∈N)
則有：y?=1/2；
p?=4c+1時，y?=(p?-2)/p?；
p?≠2、4c+1時，y?=1. (c∈N)
又，4以內共有2個正整數(1,3)與4互素.
因此，s以內有1/2的p?=4c+1.
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
則有：i＞167時，r?→1.36…
即，集合X存在參照常數r=1.36.
s以內集合X中元素的能量和為e=√s/㏑s.
因此，s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=1.36√s/㏑s.
以此類推
且令：A={x|x=a2+n,(a∈N}；
B={x|x=a2+a+n,(a∈N}；
C={x|x=(a2+a)/2+n,(a∈N}.(n∈Z)
則有：n確定時，s以內集合A、B、C中素數數量分布的計算公式都是q=er=r?k/㏑s.
[k表示s以內集合X(X=A,B,C)中正元素的數量,s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算]
集合A的參照常數r?的計算方法如下：
1、n=-b2(b∈N)時，集合A的表達式能夠進行因式分解，r?=0.
2、n≠-b2(b∈N)時，令|4n|以內存在2u個正整數與|4n|互素，集合A的正元素中包含的與|4n|互素的素因數除以|4n|所得互異的余數(有且僅有u個)組成序列B={b?,b?…b?}；
當p?整除|4n|時，令t?=1；當p?=|4n|c+b?時，令t?=(p?-2)/(p?-1)；當p?不能整除|4n|且p?≠|4n|c+b?時，令t?=p?/(p?-1)；s以內有1/2的p?=|4n|c+b?；i足夠大時，r?=t?t?…t?=常數.(i∈N,c∈N,v=1,2…u)
另外，如果m=nb2(b∈N+)；b不存在與|4n|互素的奇素因數，則r?=r?；b存在與|4n|互素的奇素因數d?,d?…d?，當d?=|4n|c+b?時，令k?=(d?-1)/(d?-2)，當d?≠|4n|c+b?時，令k?=(d?-1)/d?，則r?=r?k?k?…k?.(i=1,2…x；c、b?同上)
例如：
n=7時，|4n|=28，28以內存在12個正整數與28互素，集合A的正元素中包含的與28互素的素因數除以28所得互異的余數(有且僅有6個)組成序列B={b?,b?…b?}={1,9,11,15,23,25}；
28的素因數為p?=2、p?=7，令t?=t?=1；當p?=28c+b?時，令t?=(p?-2)/(p?-1)；當p?≠2、7、28c+b?時，令t?=p?/(p?-1).(i∈N,c∈N,v=1,2…6)
又，s以內有1/2的p?=28c+b?；
經計算，i＞167時，r?=t?t?…t?=1.96…
因此，集合A={x|x=a2+7,(a∈N}的參照常數為r?=1.96.
經粗略計算，r?=r?=1.36，r?=r?=0.71，r?=0.78，r?=0.52，r?=0.71，r?=1.96，r?=r??=r??=0，r??=r??=1.89，r??=1.38，r??=1.78，r??=1.04，r??=0.75.
(連續(xù)足夠多個r?的均值為1)
集合B的參照常數r?的計算方法如下：
1、n為偶數時，集合B中的元素均為偶數，r?=0.
2、n為奇數時，令|4n-1|以內存在2u個正整數與|4n-1|互素，集合B的正元素中包含的與|4n-1|互素的奇素因數除以|4n-1|所得互異的余數(有且僅有u個)組成序列B={b?,b?…b?}；
當p?整除|4n-1|時，令t?=1；當p?=|4n-1|c+b?時，令t?=(p?-2)/(p?-1)；當p?不能整除|4n-1|且p?≠|4n-1|c+b?時，令t?=p?/(p?-1)；s以內有1/2的p?=|4n-1|c+b?；i足夠大時，r?=2t?t?…t?=常數.(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)
另外，如果|4m-1|=|4n-1|b2(b為正奇數)；b不存在與|4n-1|互素的奇素因數，則r?=r?；b存在與|4n-1|互素的奇素因數d?,d?…d?，當d?=|4n-1|c+b?時，令k?=(d?-1)/(d?-2)，當d?≠|4n-1|c+b?時，令k?=(d?-1)/d?，則r?=r?k?k?…k?. (i=1,2…x；c、b?同上)
經粗略計算，r?=1.56，r?=r??=r?=0，r?=1.01，r??=3.43，r??=1.61.
(連續(xù)足夠多個r?的均值為1)
集合C的參照常數r?的計算方法如下：
1、n=-(b2+b)/2(b∈N)時，集合C的表達式偶數項與奇數項能夠分開進行因式分解，r?=0.
2、n≠-(b2+b)/2(b∈N)時，令|8n-1|以內存在2u個正整數與|8n-1|互素，集合C的正元素中包含的與|8n-1|互素的奇素因數除以|8n-1|所得互異的余數(有且僅有u個)組成序列B={b?,b?…b?}；
當p?整除|8n-1|時，令t?=1；當p?=|8n-1|c+b?時，令t?=(p?-2)/(p?-1)；當p?不能整除|8n-1|且p?≠|8n-1|c+b?時，令t?=p?/(p?-1)；s以內有1/2的p?=|8n-1|c+b?；i足夠大時，r?=t?t?…t?=常數.(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)
另外，如果|8m-1|=|8n-1|b2(b∈N+)；b不存在與|8n-1|互素的奇素因數，則r?=r?；b存在與|8n-1|互素的奇素因數d?,d?…d?，當d?=|8n-1|c+b?時，令k?=(d?-1)/(d?-2)，當d?≠|8n-1|c+b?時，令k?=(d?-1)/d?，則r?=r?k?k?…k?. (i=1,2…x；c、b?同上)
經粗略計算，r?=1.98，r?=r??=0，r??=2.35，r?=1.24.(連續(xù)足夠多個r?的均值為1)
綜合而論
s以內集合X={x|x=k?a2+k?a+n,(a∈N}中素數數量分布的計算公式是q=er=r?k/㏑s.
(k?∈N+,k?∈Z,n∈Z,k表示s以內集合X中正元素的數量,s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)
集合X的參照常數r?的計算方法如下：
1、集合X的表達式能夠進行因式分解或者所有元素都被某個素數整除時(例如k?、k?為奇數,n為偶數時,所有元素都被2整除)，r?=0.
2、當集合X不符合上述第1條；k?為偶數時，令A={x|x=a2+k?n-k?2/4,(a∈N)}；k?、k?、n均為奇數時，令B={x|x=a2+a+k?n-(k?2-1)/4,(a∈N)}；k?為奇數、k?為偶數時，令C={x|x=(a2+a)/2+k?n/2-(k?2-1)/8,(a∈N)}；當k?=2?(m∈N)時，令b=1；當k?存在奇素因數d?,d?…d?，d?(i=1,2…x)整除k?時，令b?=d?/(d?-1)，d?與k?互素時，令b?=(d?-1)/(d?-2)，令b=b?b?…b?；則r?等于集合X對應的集合(A,B,C三者之一)的參照常數值乘以b.
(k?,k?不變,連續(xù)足夠多個r?的均值為1)
③、論m次函數中的素數分布.
且令：X={x|x=k?a?+k???a??1…+k?a+n,
(a∈N)}. (m、k?∈N+；n、k?…k???∈Z)
則有：s以內集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=r?k/㏑s.
(k表示s以內集合X中正元素的數量,s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)
集合X的參照常數r?的計算方法如下：
1、集合X的表達式能夠進行因式分解或者所有元素都被某個素數整除時，r?=0；否則，按2、3條計算，r?＞0，集合X中素數無窮多.
2、集合X中的正元素除以p?所得余數呈現(xiàn)周期性分布規(guī)律，周期長度為p?；每個素數都對應一個余數周期，這些周期內最多有m個0，最少則無0，平均為一個0；令p?對應的余數周期中有d?個元素與p?互素；令t?=d?/(p?-1)；i足夠大時，r?=t?t?…t?=常數. (i∈N)
3、第2條是關于集合X的r?值的直接計算法，前面計算表達式為二次函數的集合X的r?值用的是間接計算法，關于計算表達式為二次以上函數的集合X的r?值的間接計算法尚待探討.
(m,k?…k?不變,連續(xù)足夠多個r?的均值為1)
另外，當集合X的表達式中某些項的系數不為整數時，如果集合X中的正元素分布符合上述第2條，則集合X的r?值計算方法同上.
㈤、論梅森素數的分布.
型如2?-1(a∈N+)的素數稱為梅森素數.
且令：集合X={x|x=2?-1,(a∈N+)}
={1,3,7,15,31,63,127,255…}.
且令：集合X中的元素依次是x?，x?，x?…
則有：x???=2x?+1；x??=2??-1=(2?-1)
[2???1??+2???2??…+2?+1]. (n、m∈N+)
因此，n為合數時，x?同樣為合數.
且令：集合X中的元素除以某個奇素數p所得余數依次組成序列K={k?，k?，k?…}.
則有：k?≠p-1；
2k?+1＜p時，k???=2k?+1；
2k?+1≥p時，k???=2k?+1-p.
因此，序列K中互異的元素小于p個，連續(xù)p個元素中將存在相同的元素.
且令：k?=k?. (n＜m,m-n＜p)
則有：k?=k???????. (i∈N+)
因此，序列K中的元素存在周期性分布規(guī)律；其周期長度小于p，周期內的元素互異，第一個元素是1，最后一個元素是0.
當m∈P，n∈N+時，集合X中的元素滿足：當且僅當m=2時，第mn個元素能被3整除；當且僅當m=3時，第mn個元素能被7整除；當且僅當m=5時，第mn個元素能被31整除；當且僅當m=7時，第mn個元素能被127整除；當且僅當m=11時，第mn個元素能被23、89整除 …
分析整理，可按下述方法設定：
1、當集合X中被p?(p?=5,11,13,17,19…)整除的所有元素都能夠被某個小于p?的素數整除時，這些素數對應y?=1.
2、當p?(p?=2,3,7,23,31…)不是第1條中括號內的素數時，且令集合X中與p?互素的元素的分布比例為y?.
則有：y?=1或者y?=(p-1)/p.
(p∈P,p<p?,所有y?≠1的值互異)
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
則有：所有的r?＞1. (猜測i足夠大時,r?→2)
經計算，s以內集合X中元素的能量和為e=㏑㏑s/㏑2；因此，s以內梅森素數的數量接近或大于㏑㏑s/㏑2；存在無窮多個梅森素數；如果猜測成立，則s(足夠大)以內梅森素數的數量接近于2㏑㏑s/㏑2.
同理可證：
s以內斐波那契數列中的素數數量接近或大于1.5㏑㏑s/㏑g. [g=(1+√5)/2=1.618]
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